Triangular distribution

A distribuição triangular é uma distribuição de probabilidade contínua que é utilizada em situações onde há uma relação conhecida entre os dados variáveis, contudo há relativamente poucos dados disponíveis para conduzir uma análise estatística completa. A distribuição triangular é uma distribuição ideal quando os únicos dados disponíveis são os valores máximo e mínimo, e o resultado mais provável. Ela é frequentemente usada em análise de decisões empresariais.

A distribuição triangular é definida por três parâmetros: o valor mínimo ($a$), o valor máximo ($b$) e o valor mais provável ($c$), que é o pico da distribuição. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição triangular é composta por duas partes lineares, formando um triângulo, e é dada pela fórmula:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\text{ ou }x>b,\\ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)},& a\le x\le c,\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)},& c<x\le b.\end{array}$$

Essa fórmula garante que a área total sob a curva seja igual a 1.

A CDF da distribuição triangular é dada por:

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a,\\ \frac{(x-a{)}^2}{(b-a)(c-a)},& a\le x\le c,\\ 1-\frac{(b-x{)}^2}{(b-a)(b-c)},& c<x\le b,\\ 1,& x>b.\end{array}$$

Exemplo

Considere o tempo necessário para a conclusão de um projeto, estimado com os seguintes valores: tempo mínimo $a=20$ dias, tempo máximo $b=40$ dias, e tempo mais provável $c=30$ dias. A função densidade de probabilidade para essa distribuição triangular é dada por:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<20\text{ ou }x>40,\\ \frac{2(x-20)}{(40-20)(30-20)},& 20\le x\le 30,\\ \frac{2(40-x)}{(40-20)(40-30)},& 30<x\le 40.\end{array}$$

Com base na forma da distribuição, podemos inferir que:

• O valor mais provável do tempo de conclusão é (30) dias.
• Os valores extremos ((20) e (40) dias) têm a menor probabilidade de ocorrência.
• A maior probabilidade de tempos ocorre entre (25) e (35) dias, próximos ao valor mais provável.

A função de distribuição acumulada pode ser usada para calcular probabilidades específicas, como a probabilidade de o projeto ser concluído em menos de 25 dias ($P(X\le 25)$) ou em mais de 35 dias ($P(X>35)$). Essas probabilidades são úteis para avaliar riscos e planejar cenários alternativos.