Triangular distribution
A distribuição triangular é uma distribuição de probabilidade contínua que é utilizada em situações onde há uma relação conhecida entre os dados variáveis, contudo há relativamente poucos dados disponíveis para conduzir uma análise estatística completa. A distribuição triangular é uma distribuição ideal quando os únicos dados disponíveis são os valores máximo e mínimo, e o resultado mais provável. Ela é frequentemente usada em análise de decisões empresariais.
A distribuição triangular é definida por três parâmetros: o valor mínimo (\(a\)), o valor máximo (\(b\)) e o valor mais provável (\(c\)), que é o pico da distribuição. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição triangular é composta por duas partes lineares, formando um triângulo, e é dada pela fórmula:
\[f(x) = \begin{cases} 0, & x < a \text{ ou } x > b, \\ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}, & a \leq x \leq c, \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, & c < x \leq b. \end{cases}\]Essa fórmula garante que a área total sob a curva seja igual a 1.
A CDF da distribuição triangular é dada por:
\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < a, \\ \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}, & a \leq x \leq c, \\ 1 - \frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}, & c < x \leq b, \\ 1, & x > b. \end{cases}\]Exemplo
Considere o tempo necessário para a conclusão de um projeto, estimado com os seguintes valores: tempo mínimo \(a = 20\) dias, tempo máximo \(b = 40\) dias, e tempo mais provável \(c = 30\) dias. A função densidade de probabilidade para essa distribuição triangular é dada por:
\[f(x) = \begin{cases} 0, & x < 20 \text{ ou } x > 40, \\ \frac{2(x-20)}{(40-20)(30-20)}, & 20 \leq x \leq 30, \\ \frac{2(40-x)}{(40-20)(40-30)}, & 30 < x \leq 40. \end{cases}\]Com base na forma da distribuição, podemos inferir que:
- O valor mais provável do tempo de conclusão é (30) dias.
- Os valores extremos ((20) e (40) dias) têm a menor probabilidade de ocorrência.
- A maior probabilidade de tempos ocorre entre (25) e (35) dias, próximos ao valor mais provável.
A função de distribuição acumulada pode ser usada para calcular probabilidades específicas, como a probabilidade de o projeto ser concluído em menos de 25 dias (\(P(X \leq 25)\)) ou em mais de 35 dias (\(P(X > 35)\)). Essas probabilidades são úteis para avaliar riscos e planejar cenários alternativos.