Uniform distribution

A distribuição uniforme é um tipo de distribuição de probabilidade contínua que descreve eventos onde todos os valores dentro de um intervalo são igualmente prováveis. Assim, cada um dos \(n\) valores possíveis tem a mesma chance de ocorrer (\(1/n\)). A distribuição uniforme é caracterizada por dois parâmetros, o limite inferior (\(a\)) e o limite superior (\(b\)), que definem o intervalo de valores possíveis. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição uniforme é constante dentro do intervalo \([a, b]\) e zero fora dele.

Matematicamente, a função densidade de probabilidade (PDF) é definida como:

\[\begin{align*} f(x) &= \frac{1}{b-a}, \quad \text{para } a \leq x \leq b \\ f(x) &= 0, \quad \text{para } x < a \text{ ou } x > b \end{align*}\]

Função de Distribuição Acumulada (CDF)

A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição uniforme, denotada por \(F(x)\), descreve a probabilidade acumulada até um ponto \(x\). Ela é definida como:

\[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } x < a, \\ \frac{x - a}{b - a}, & \text{se } a \leq x \leq b, \\ 1, & \text{se } x > b. \end{cases}\]

Assim, a CDF é uma função que cresce linearmente no intervalo \([a, b]\), com valores que variam de 0 a 1.

Momentos

Além disso, essa distribuição possui momentos que são derivados diretamente de seus limites. O momento de ordem 1, ou seja, a média (\(\mu\)), é o ponto médio do intervalo, enquanto a variância (\(\sigma^2\)) descreve a dispersão dos valores ao redor da média. Esses momentos são calculados como:

\[\begin{align*} \mu &= \frac{a+b}{2} \\ \sigma^2 &= \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*}\]

Os limites \(a\) e \(b\) podem ser determinados diretamente a partir da média e do desvio padrão (\(\sigma\)), o que torna a distribuição uniforme bastante conveniente para aplicações práticas. A relação é dada por:

\[\begin{align*} a &= \mu - \sqrt{3}\sigma \\ b &= \mu + \sqrt{3}\sigma \end{align*}\]

Exemplo

Para exemplificar a distribuição uniforme, considere um problema de engenharia onde a resistência de um material é modelada como uma variável aleatória uniformemente distribuída entre 50 e 100 MPa. A média e o desvio padrão da resistência são calculados como:

\[\mu = \frac{50+100}{2} = 75 \text{ MPa}\] \[\sigma = \sqrt{\frac{(100-50)^2}{12}} = 14.43 \text{ MPa}\]

Substituindo esses valores na relação entre os limites e os momentos, obtemos:

\[a = 75 - \sqrt{3} \times 14.43 = 60.71 \text{ MPa}\] \[b = 75 + \sqrt{3} \times 14.43 = 89.29 \text{ MPa}\]

Portanto, a resistência do material é modelada como uma variável aleatória uniformemente distribuída entre 60.71 e 89.29 MPa. A CDF correspondente para a resistência seria:

\[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } x < 60.71, \\ \frac{x - 60.71}{89.29 - 60.71}, & \text{se } 60.71 \leq x \leq 89.29, \\ 1, & \text{se } x > 89.29. \end{cases}\]