Gumbel Min (left)
A distribuição de Gumbel, também conhecida como distribuição de valores extremos do tipo I, pode ser utilizada para modelar eventos extremos relacionados aos mínimos de um conjunto de dados. Quando a cauda inferior da distribuição inicial \(X\) apresenta taxa de decrescimento exponencial, a distribuição dos mínimos de \(X\) tende assintoticamente a uma distribuição de Gumbel. Distribuições com cauda exponencial incluem normal, exponencial e gamma.
A função de Gumbel é tabelada na variável São parâmetros da distribuição de Gumbel para mínimos:
\[\begin{align*} u_1 &= \text{mínimo característico ou moda de } X_1, \\ \beta &= \text{parâmetro de forma}. \end{align*}\]Quando representada em papel de Gumbel, \(\beta^{-1}\) é a inclinação da distribuição. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição de Gumbel Min é dada por:
\[f_{X_n}(x) = \beta \exp\left[\beta(x - u_1) - \exp(\beta(x - u_1))\right], \quad \text{para } -\infty < x < \infty.\]A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição de Gumbel Min é dada por:
\[F_{X_n}(x) = 1 - \exp\left[-\exp(\beta(x - u_1))\right], \quad \text{para } -\infty < x < \infty.\]A função de Gumbel é tabelada na variável \(w = \beta(x - u_1)\). Conhecidos os parâmetros, os momentos são determinados por:
\[\begin{align*} \mu &= u_1 - \frac{\gamma}{\beta}, \\ \sigma &= \frac{\pi}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\beta}, \\ \gamma_3 &= -1.1396 \quad \text{(coef. de simetria)}. \end{align*}\]Sendo \(\gamma = 0.577216\) a constante de Euler. Conhecidos os momentos, os parâmetros são determinados por:
\[\begin{align*} u_1 &= \mu + \frac{\gamma}{\beta}, \\ \beta &= \frac{\pi}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sigma}. \end{align*}\]Exemplo
Suponha que estamos interessados em modelar a temperatura mínima diária em uma cidade para entender o comportamento dos extremos de temperatura ao longo do tempo. A coleta de dados foi feita ao longo de 365 dias e, ao analisar os mínimos diários de temperatura, determinamos que a distribuição dos mínimos segue uma distribuição de Gumbel.
Vamos imaginar que os dados de temperatura mínima diária (em °C) coletados ao longo de um ano são aproximadamente os seguintes:
\[T_{\text{mín}} = \{15.2, 14.5, 13.8, 12.1, 16.0, 14.9, \ldots\}\]Esses dados foram usados para calcular os parâmetros da distribuição de Gumbel. Para simplificar, vamos assumir que já obtivemos os seguintes valores para os parâmetros da distribuição:
\[\begin{align*} u_n &= 13.0 \quad \text{°C (mínimo característico ou moda)}, \\ \beta &= 0.2 \quad \text{°C}^{-1} \quad \text{(parâmetro de forma)}. \end{align*}\]Com esses parâmetros, podemos calcular a função densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição de Gumbel para a temperatura mínima diária. Vamos realizar os cálculos para entender como essas funções podem ser usadas para prever a probabilidade de eventos extremos de temperatura.
A PDF é dada por:
\[f_T(x) = 0.2 \exp\left[0.2(x - 13.0) - \exp(0.2(x - 13.0))\right]\]Se quisermos calcular a probabilidade de que a temperatura mínima em um dia seja menor que 10 °C, substituímos \(x = 10\) na fórmula da PDF:
\[f_T(10) = 0.2 \exp\left[0.2(10 - 13) - \exp(0.2(10 - 13))\right]\]A CDF é dada por:
\[F_T(x) = 1 - \exp\left[-\exp(0.2(x - 13.0))\right]\]Se quisermos calcular a probabilidade de que a temperatura mínima em um dia seja maior que 10 °C, usamos a fórmula complementar da CDF:
\[P(T > 10) = 1 - F_T(10)\]Substituímos \(x = 10\) na fórmula da CDF:
\[F_T(10) = 1 - \exp\left[-\exp(0.2(10 - 13))\right]\]Interpretação dos Resultados:
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A CDF nos dá a probabilidade acumulada de que a temperatura mínima seja menor ou igual a um valor específico. Por exemplo, se (F_T(10) = 0.15), isso significa que há 15% de chance de que a temperatura mínima de um dia seja menor ou igual a 10 °C.
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A PDF nos dá a densidade de probabilidade de que a temperatura mínima seja exatamente igual a um valor. Embora a PDF de uma variável contínua não forneça uma probabilidade exata para um valor específico, ela nos dá a “intensidade” da probabilidade em torno de um valor.