Gumbel Max (right)

A distribuição de Gumbel, também conhecida como distribuição de valores extremos do tipo I, é uma distribuição de probabilidade contínua amplamente utilizada para modelar eventos extremos, como máximos ou mínimos de um conjunto de dados. Quando a cauda superior da distribuição inicial \(X\) apresenta taxa de decrescimento exponencial, a distribuição dos máximos de \(X\) tende assintoticamente a uma distribuição de Gumbel. Distribuições com cauda exponencial incluem normal, exponencial e gamma.

São parâmetros da distribuição de Gumbel para máximos:

$$ \begin{align*} u_n &= \text{máximo característico ou moda de } X_n, \\ \beta &= \text{parâmetro de forma}. \end{align*} $$

A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição de Gumbel Right é dada por:

$$ f_{X_n}(x) = \beta exp[-\beta(x - u_n) - exp(-\beta(x - u_n))], \quad \text{para } -\infty < x < \infty. $$

A função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição de Gumbel Right é dada por:

$$ F_{X_n}(x) = exp[-exp(-\beta(x - u_n))], \quad \text{para } -\infty < x < \infty. $$

Conhecido os parâmetros, os momentos são determinados por:

$$ \begin{align*} \mu &= u_n + \gamma \beta \\ \sigma &= \frac{\pi}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\beta} \\ \gamma_3 &= 1.1396 \quad \text{(coef. de simetria)} \end{align*} $$

Sendo \(\gamma = 0,577216\) a constante de Euler. Conhecidos os momentos, os parâmetros são determinados por:

$$ \begin{align*} u_n &= \mu - \frac{\gamma}{\beta} \\ \beta &= \frac{\pi}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sigma} \end{align*} $$

Exemplo

Suponha que estamos interessados em modelar a temperatura máxima diária em uma cidade para entender o comportamento dos extremos de temperatura ao longo do tempo. A coleta de dados foi feita ao longo de 365 dias e, ao analisar os máximos diários de temperatura, determinamos que a distribuição dos máximos segue uma distribuição de Gumbel.

Vamos imaginar que os dados de temperatura máxima diária (em °C) coletados ao longo de um ano são aproximadamente os seguintes:

$$ T_{\text{máx}} = \{34.1, 35.5, 33.8, 36.2, 32.9, 34.7, \ldots\} $$

Esses dados foram usados para calcular os parâmetros da distribuição de Gumbel. Para simplificar, vamos assumir que já obtivemos os seguintes valores para os parâmetros da distribuição:

$$ \begin{align*} u_n &= 32.0 \quad \text{°C (máximo característico ou moda)}, \\ \beta &= 0.1 \quad \text{°C}^{-1} \quad \text{(parâmetro de forma)}. \end{align*} $$

Com esses parâmetros, podemos calcular a função densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição de Gumbel para a temperatura máxima diária. Vamos realizar os cálculos para entender como essas funções podem ser usadas para prever a probabilidade de eventos extremos de temperatura.

A PDF é dada por:

$$ f_T(x) = 0.1 \exp\left[-0.1(x - 32.0) - \exp(-0.1(x - 32.0))\right] $$

Se quisermos calcular a probabilidade de que a temperatura máxima em um dia seja maior que 35 °C, substituímos \(x = 35\) na fórmula da PDF:

$$ f_T(35) = 0.1 \exp\left[-0.1(35 - 32) - \exp(-0.1(35 - 32))\right] $$

A CDF é dada por:

$$ F_T(x) = \exp\left[-\exp(-0.1(x - 32.0))\right] $$

Se quisermos calcular a probabilidade de que a temperatura máxima em um dia seja menor que 35 °C, substituímos \(x = 35\) na fórmula da CDF:

$$ F_T(35) = \exp\left[-\exp(-0.1(35 - 32))\right] $$

Interpretação dos Resultados:

- A CDF nos dá a probabilidade acumulada de que a temperatura máxima seja menor ou igual a um valor específico. Por exemplo, se \(F_T(35) = 0.85\), isso significa que há 85% de chance de que a temperatura máxima de um dia seja menor ou igual a 35 °C. - A PDF nos dá a densidade de probabilidade de que a temperatura máxima seja exatamente igual a um valor. Embora a PDF de uma variável contínua não forneça uma probabilidade exata para um valor específico, ela nos dá a "intensidade" da probabilidade em torno de um valor.