Problema estrutural
Os problemas do portfólio envolvem a otimização estrutural, área amplamente utilizada na solução de problemas como benchmark, onde a eficácia dos algoritmos desenvolvidos deve ser posta à prova. É importante ressaltar que, em basicamente toda engenharia estrutural, a determinação dos melhores valores para cada um dos parâmetros é algo inerente. Dito isto, objetivos e restrições de projeto são não lineares, envolvendo assim diversas variáveis de projeto.
Segundo Gandomi (2011) [1], o campo da otimização estrutural é uma área que passa por rápidas mudanças em termos de metodologia e ferramentas de design. Assim, é altamente necessário resumir alguns problemas para otimização estrutural. Neste portfólio, foram resolvidos problemas de viga soldada, viga de concreto armado, mola de compressão, vaso de pressão, redutor de velocidade e viga cantilever escalonada.
Viga soldada
Uma questão de engenharia estrutural muito importante é minimizar o custo total de projeto para uma viga soldada. Este é o intuito do problema a seguir. A Figura XX ilustra uma viga de aço de baixo carbono (C-1010) que foi soldada em um suporte rígido.
As variáveis de projeto devem ser determinadas para suportar uma carga P, são elas:
- h: espessura da solda;
- l: comprimento da junta soldada;
- t: largura da viga;
- b: espessura da viga.
A função objetivo deste problema é expressa na Equação (1).
| \[OF=(1+C_{1})h^2\times l+C_{2}\times t\times b(L+l)\] | (1) |
Assim como todos problemas de otimização estrutural, a determinação dos melhores valores de cada parâmetro está sujeita a restrições. Neste caso, há cinco delas:
| \[g_{1} = \tau_{d}\ - \tau\geq 0\] | (2) |
| \[g_{2} = \sigma_{d} - \sigma\geq 0\] | (3) |
| \[g_{3} = b - h\geq 0\] | (4) |
| \[g_{4} = P_{c} - P \geq 0\] | (5) |
| \[g_{5} = 0.25 - \delta\geq 0\] | (6) |
Onde:
| \[ \tau = \sqrt{\frac{\tau_{1}^2 + \tau_{2}^2 + l\tau_{1}\tau_{2}}{\sqrt{0.25(l^2 + (h + t)^2)}}} \] | (7) |
| \[ \tau_{d} = 13600 \, \text{psi} \] | (8) |
| \[ \tau_{1} = \frac{6000}{\sqrt{2}hl} \] | (9) |
| \[ \tau_{2} = \frac{6000(14 + 0.5l)\sqrt{0.25(l^2 + (h + t)^2)}}{2(0.707hl)\left(\frac{l^2}{12} + 0.25(h + t)^2\right)} \] | (10) |
| \[ \delta = \frac{2.1952}{t^{3}b} \] | (11) |
| \[ P_{c} = 64746(1-0.0282346t)tb^{3} \] | (12) |
Viga de concreto armado
No caso de uma viga de concreto armado, o objetivo não é diferente, sendo o custo total o intuito a ser minimizado. A Figura XX ilustra a viga em questão.
As variáveis de projeto neste caso são:
- As: área de armadura;
- b: largura da viga;
- h: profundidade da viga;
A função objetivo deste problema é expressa na Equação (13).
| \[OF = 29.4 \times A_{s} + 0.6bh\] | (13) |
As restrições são:
| \[g_{1} = \frac{h}{b} - 4 \leq 0\] | (14) |
| \[M_{u} = 0.9 A_{s} F_{y} (0.8h) \left(1.0 - 0.59 \frac{A_{s} F_{y}}{0.8bh \sigma_{c}}\right) \geq 1.4M_{d} + 1.7M_{l}\] | (15) |
| \[g_{2} = 180 + 7.375 \frac{A_{s}}{b} - A_{s} h \leq 0\] | (16) |
Onde:
| \( M_{u} \) = Resistência à flexão; |
| \( M_{d} \) = Carga permanente; |
| \( M_{l} \) = Momentos de carga dinâmica; |
Mola de compressão
Problemas que envolvem uma mola de compressão possuem muitas variações e são estudados por diversos pesquisadores. Neste caso, o objetivo de minimização é o peso da mola. A Figura XX demonstra uma mola de compressão com três variáveis de projeto, são elas:
- d: diâmetro do fio;
- D: diâmetro médio da bobina;
- N: número de bobinas ativas;
A função objetivo deste problema é expressa na Equação (17).
| \[OF = (N + 2) \times Dd^{2}\] | (17) |
As restrições deste problema são:
| \[g_{1} = 1 - \frac{D^3 N}{71785 d^4} \leq 0\] | (18) |
| \[g_{2} = \frac{4 D^2 - D d}{12566 (D d^3 - d^4)} + \frac{1}{510} d^2 - 1 \leq 0\] | (19) |
| \[g_{3} = 1 - \frac{140.45 d}{D^2 N} \leq 0\] | (20) |
| \[g_{4} = \frac{D + d}{1.5} - 1 \leq 0\] | (21) |
Vaso de pressão
Vasos de pressão podem ser definidos como um recipiente em que gases e líquidos estão presentes em seu interior. Normalmente, este conteúdo está sujeito a uma pressão significantemente maior em relação ao ambiente exterior. A Figura XX ilustra um vaso de pressão cilíndrico onde ambas as extremidades estão tampadas por cabeças esféricas.
Este tipo de recipiente é amplamente utilizado na engenharia e, além disso, apresenta um alto custo de fabricação, então o objetivo aqui é a minimização deste custo.
As variáveis de projeto neste caso são as seguintes:
- \( T_{s} \): espessura da casca;
- \( T_{h} \): espessura da cabeça;
- R: raio interno;
- L: comprimento da seção cilíndrica;
A função objetivo deste problema é expressa na Equação (22).
| \[OF = (0.6224 T_s R L) + (1.7781 T_h R^2) + (3.1661 T_s^2 L) + (19.84 T_h^2 L)\] | (22) |
As restrições deste problema são:
| \[g_{1} = -T_s + 0.0193 R \leq 0\] | (23) |
| \[g_{2} = -T_h + 0.0095 R \leq 0\] | (24) |
| \[g_{3} = -\pi R^2 L - \frac{4}{3} \pi R^3 + 1296000 \leq 0\] | (25) |
| \[g_{4} = L - 240 \leq 0\] | (26) |
Redutor de velocidade
Redutores de velocidade são utilizados em diversos tipos de aplicações e, portanto, é bastante útil trabalhar em uma otimização. Aqui, o objetivo de minimização é o peso total do redutor de velocidade, no entanto, esta não é uma tarefa simples, pois para tal, é necessário trabalhar com sete variáveis de projeto. São elas:
- b: largura da face;
- m: módulo dos dentes;
- z: número de dentes no pinhão;
- l1: comprimento do primeiro eixo entre os rolamentos;
- l2: comprimento do segundo eixo entre os rolamentos;
- d1: diâmetro do primeiro eixo;
- d2: diâmetro do segundo eixo;
A função objetivo deste problema é expressa na Equação (27).
| \[OF=0.7854 b m^2 (3.3333 z^2 + 14.9334 z - 43.0934) - 1.508 b (d_1^2 + d_2^2) + 7.477 (d_1^3 + d_2^3) + 0.7854 (l_1 d_1^2 + l_2 d_2^2)\] | (27) |
As restrições deste problema são:
| \[g_{1}=\frac{27}{b m^2 z} - 1 \leq 0\] | (28) |
| \[g_{2}=\frac{397.5}{b m^2 z^2} - 1 \leq 0\] | (29) |
| \[g_{3}=\frac{1.93 l_1^3}{m z d_1^4} - 1 \leq 0\] | (30) |
| \[g_{4}=\frac{1.93 l_2^3}{m z d_2^4} - 1 \leq 0\] | (31) |
| \[g_{5}=\frac{\sqrt{\left(\frac{745 l_1}{m z}\right)^2 + 16.9 \times 10^6}}{110 d_1^3} - 1 \leq 0\] | (32) |
| \[g_{6}=\frac{\sqrt{\left(\frac{745 l_2}{m z}\right)^2 + 157.5 \times 10^6}}{85 d_2^3} - 1 \leq 0\] | (33) |
| \[g_{7}=\frac{m z}{40} - 1 \leq 0\] | (34) |
| \[g_{8}=\frac{5 m}{b} - 1 \leq 0\] | (35) |
| \[g_{9}=\frac{b}{12 m} - 1 \leq 0\] | (36) |
| \[g_{10}=\frac{1.5 d_1 + 1.9}{l_1} - 1 \leq 0\] | (37) |
| \[g_{11}=\frac{1.1 d_2 + 1.9}{l_2} - 1 \leq 0\] | (38) |
Viga cantilever escalonada
Este é um problema em que há a presença de várias variáveis de projeto, dentre os problemas apresentados é o mais desafiador em quesitos de benchmark. Aqui, o objetivo de minimização é o volume de uma viga cantilever escalonada.
As variáveis de projeto aqui são as larguras, alturas e comprimentos da viga em todas as cinco etapas, como demonstrado na Figura XX.
A função objetivo deste problema é expressa na Equação (39).
| \[OF = (b_{1} h_{1} l_{1}) + (b_{2} h_{2} l_{2}) + (b_{3} h_{3} l_{3}) + (b_{4} h_{4} l_{4}) + (b_{5} h_{5} l_{5})\] | (39) |
As restrições neste caso são dadas por:
| \[g_{1} = \left(\frac{6 P l_5}{b_5 h_5^2}\right) - \sigma_d \leq 0\] | (40) |
| \[g_{2} = \left(\frac{6 P (l_5 + l_4)}{b_4 h_4^2}\right) - \sigma_d \leq 0\] | (41) |
| \[g_{3} = \left(\frac{6 P (l_5 + l_4 + l_3)}{b_3 h_3^2}\right) - \sigma_d \leq 0\] | (42) |
| \[g_{4} = \left(\frac{6 P (l_5 + l_4 + l_3 + l_2)}{b_3 h_2^2}\right) - \sigma_d \leq 0\] | (43) |
| \[g_{5} = \left(\frac{6 P (l_5 + l_4 + l_3 + l_2 + l_1)}{b_1 h_1^2}\right) - \sigma_d \leq 0\] | (44) |
| \[g_{6} = \frac{PL^{3}}{3E} \left(\frac{1}{l_5} + \frac{7}{l_4} + \frac{19}{l_3} + \frac{37}{l_2} + \frac{61}{l_1}\right) - \Delta_m \leq 0\] | (45) |
| \[g_{7} = \frac{h_5}{b_5} - 20 \leq 0\] | (46) |
| \[g_{8} = \frac{h_4}{b_4} - 20 \leq 0\] | (47) |
| \[g_{9} = \frac{h_3}{b_3} - 20 \leq 0\] | (48) |
| \[g_{10} = \frac{h_2}{b_2} - 20 \leq 0\] | (49) |
| \[g_{11} = \frac{h_1}{b_1} - 20 \leq 0\] | (50) |
Onde:
| P = Carga aplicada na ponta da viga; |
| E = Módulo de elasticidade do concreto; |
| L = Comprimento total da viga; |
| \(\sigma_d\) = Tensão de flexão admissível; |
| \(\Delta_m\) = Deslocamento admissível; |